Kunci Jawaban Matematika Kelas 11 Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2 BAB 1 - Abis liat perkembangan sains dan teknologi sekarang, lo bisa liat gimana internet lagi jadi tren banget di masyarakat.
Banyak banget kebutuhan manusia yang dibantu sama internet, mulai dari makanan, baju, dan lain sebagainya yang semuanya bergantung sama internet. Nah, aplikasi-aplikasi macem-macem juga muncul gara-gara teknologi yang maju ini, loh.
Tapi di sisi lain, zaman sekarang udah masuk ke era distrupsi, yang ditandai sama orang-orang yang kehilangan kepakarannya. Lihar juga Jawaban pelajaran ✅kelas 7✅kelas 8✅kelas 9✅kelas 10✅kelas 11✅kelas 12
Kadang-kadang, guru udah nggak bisa jadi jaminan buat referensi siswa dalam belajar. Tapi ya, teknologi udah dominan banget di banyak hal, termasuk di dunia pendidikan. Jadi, dari perkembangan zaman ini, semua orang harus adaptasi sama perkembangan teknologi.
Kunci jawaban matematika kelas 11 halaman 24, 25, 26 itu menarik banget, loh, soalnya bisa gampang diakses pake hp android. Lo bisa pake internet buat nyari kunci jawaban yang ada dan tersedia di internet. Beberapa langkah download-nya juga bisa lo lakuin dengan gampang, kok.
KUNCI JAWABAN Matematika Kelas 11 Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2
1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2a) Untuk membuktikan bahwa pernyataan tersebut salah, kita perlu menemukan satu contoh bilangan asli n di mana tidak ada bilangan prima p yang memenuhi kondisi n < p < n + 6.
Misalkan kita ambil n = 1. Maka kita perlu mencari bilangan prima p sedemikian sehingga 1 < p < 7. Namun, tidak ada bilangan prima di antara 1 dan 7. Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar-benar salah.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2b) Untuk membuktikan bahwa pernyataan tersebut salah, kita perlu menemukan satu contoh di mana a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan tersebut, tetapi a tidak sama dengan c dan a tidak sama dengan d.
Misalkan kita ambil a = 3, b = 4, c = 5, dan d = 6. Dalam hal ini, a pangkat 2 + b pangkat 2 = 3 pangkat 2 + 4 pangkat 2 = 9 + 16 = 25, dan c pangkat 2 + d pangkat 2 = 5 pangkat 2 + 6 pangkat 2 = 25 + 36 = 61. Dalam contoh ini, a tidak sama dengan c dan a tidak sama dengan d, sehingga pernyataan tersebut salah
Dengan memberikan contoh-contoh di atas, kita telah membuktikan bahwa kedua pernyataan tersebut salah.
Baca Juga mapel kelas 11 : ✅Matematika kelas ✅Bahasa Inggris ✅Bahasa Indonesia✅ Fisika ✅Kimia ✅Biologi ✅Sejarah ✅Geografi ✅Ekonomi ✅Sosiologi ✅ Pendidikan Agama ✅Seni Budaya ✅Penjas
2. Rancang suatu formula untuk setiap pola barisan yang diberikan.
a) 5, 13, 21, 29, 37, 45, . . . d) –2, 1, 6, 13, 22, 33, . . .
b) 6, 15, 30, 51, 78, 111, . . . e) –1, 8, 23, 44, 71, 104, . . .
c) 0, 6, 16, 30, 48, 70, . . .
Jelaskan alasan untuk setiap formula yang kamu peroleh.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2a) Pola barisan ini memiliki pertambahan konstan sebesar 8. Dengan demikian, formula untuk pola ini dapat dirumuskan sebagai: n = 5 + (n-1) * 8, di mana n merupakan suku ke-n dalam barisan. Misalnya, untuk suku ke-1, n = 5 + (1-1) * 8 = 5. Untuk suku ke-2, n = 5 + (2-1) * 8 = 13. Dan seterusnya.
b) Pola barisan ini memiliki pertambahan yang semakin besar setiap kali. Dalam hal ini, perbedaan antara setiap suku dengan suku sebelumnya bertambah 5, yaitu 5, 6, 7, 8, dan seterusnya. Dengan demikian, formula untuk pola ini dapat dirumuskan sebagai: n = n-1 + (n-2) * 5, di mana n merupakan suku ke-n dalam barisan. Misalnya, untuk suku ke-1, n = -2. Untuk suku ke-2, n = -2 + (2-2) * 5 = 1. Untuk suku ke-3, n = 1 + (3-2) * 5 = 6. Dan seterusnya.
c) Pola barisan ini memiliki penambahan yang semakin besar setiap kali. Dalam hal ini, perbedaan antara setiap suku dengan suku sebelumnya bertambah 6, yaitu 6, 10, 14, 18, dan seterusnya. Dengan demikian, formula untuk pola ini dapat dirumuskan sebagai: n = n-1 + (n-1) * 6, di mana n merupakan suku ke-n dalam barisan. Misalnya, untuk suku ke-1, n = 0. Untuk suku ke-2, n = 0 + (2-1) * 6 = 6. Untuk suku ke-3, n = 6 + (3-1) * 6 = 16. Dan seterusnya.
e) Pola barisan ini memiliki penambahan yang semakin besar setiap kali. Dalam hal ini, perbedaan antara setiap suku dengan suku sebelumnya bertambah 7, yaitu 7, 15, 21, 27, dan seterusnya. Dengan demikian, formula untuk pola ini dapat dirumuskan sebagai: n = n-1 + (n-2) * 7, di mana n merupakan suku ke-n dalam barisan. Misalnya, untuk suku ke-1, n = -1. Untuk suku ke-2, n = -1 + (2-2) * 7 = 8. Untuk suku ke-3, n = 8 + (3-2) * 7 = 23. Dan seterusnya.
3. Selidiki kebenaran setiap pernyataan matematis berikut ini.
a) 3^2
+ 4^2
= 5^2
3^3
+ 4^3
+ 5^3
= 6^3
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2a. 32 + 42 = 52
3x3 + 4x4 = 5x5
9 + 16 = 25
25 = 25
Pernyataan ini benar.
33 + 43 + 53 = 63
3x3x3 + 4x4x4 = 5x5x5 = 6x6x6
27 + 64 + 125 = 216
216 = 216
b) Untuk setiap n bilangan asli, P(n) = n^2 + 21n + 1 adalah bilangan prima
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2
b. P(n) = n2 + 21n + 1 adalah bilangan prima
P(1) = 12 +21.1 + 1
= 1 + 21 + 1 = 23 merupakan bilangan prima. Maka pernyataan benar.
4. Untuk soal nomor 2, buktikan formula yang ditemukan dengan menggunakan induksi matematika.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2
n = 1, maka P(1) = 8.1 - 3 = 5, P(1) benar
n = 2, maka P(2) = 8.2 - 3 = 13, P(2) benar
Induksi:
Karena P(1) dan P(2) benar, maka untuk n = k, yaitu P(k) = 8k - 3 juga dikatakan benar untuk k bilangan asli.
Akan ditunjukkan bahwa n = k +1, yaitu P(k+1) = 8(k+1) - 3 untuk setiap k bilangan asli adalah suatu pernyataan yang benar.
Maka diperoleh:
P(k + 1) = 5, 13, 21, 29, 37, 45, .... , 8k - 3, 8k +5
P(k + 1) = 8k+ 5
P(k + 1) = 8k + 8 -3
P(k + 1) = 8(k + 1) - 3
Jadi P(k + 1) = 8(k + 1) -3 = 8k + 5 tebukti benar untuk setiap k bilangan asli.
Karena dua peinsip induksi matematika terpenuhi maka disimpulkan bahwa formula pola barisan 5, 13, 21, 29, 37, 45, ..., 8n -3, benar untuk setiap n bilangan asli.
5. Diketahui n ∈ N, gunakan prinsip induksi matematika, untuk membuktikan
sifat-sifat berikut.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2
a) Buktikan untuk n = 1:
Diberikan (ab)^1 = a^1 * b^1, yang benar.
Misalkan persamaan tersebut benar untuk suatu nilai n = k, yaitu (ab)^k = a^k * b^k.
Buktikan untuk n = k + 1:
(ab)^(k+1) = (ab)^k * (ab)
= (a^k * b^k) * (ab) (dari asumsi induksi)
= (a^k * a) * (b^k * b)
= a^(k+1) * b^(k+1).
Dengan demikian, persamaan (ab)^n = a^n * b^n benar untuk setiap n ∈ N.
b) Buktikan untuk n = 1:
Diberikan (a/b)^1 = a^1 / b^1, yang benar.
Misalkan persamaan tersebut benar untuk suatu nilai n = k, yaitu (a/b)^k = a^k / b^k.
Buktikan untuk n = k + 1:
(a/b)^(k+1) = (a/b)^k * (a/b)
= (a^k / b^k) * (a/b) (dari asumsi induksi)
= (a^k * a) / (b^k * b)
= a^(k+1) / b^(k+1).
Dengan demikian, persamaan (a/b)^n = a^n / b^n benar untuk setiap n ∈ N.
c) Buktikan untuk n = 1:
Diberikan (x1 * x2 * x3 * ... * xn)^(-1) = x1^(-1) * x2^(-1) * x3^(-1) * ... * xn^(-1), yang benar.
Misalkan persamaan tersebut benar untuk suatu nilai n = k, yaitu (x1 * x2 * x3 * ... * xk)^(-1) = x1^(-1) * x2^(-1) * x3^(-1) * ... * xk^(-1)
Buktikan untuk n = k + 1:
(x1 * x2 * x3 * ... * x(k+1))^(-1) = (x1 * x2 * x3 * ... * xk * x(k+1))^(-1)
= (x1 * x2 * x3 * ... * xk)^(-1) * x(k+1)^(-1) (dari asumsi induksi)
= (x1^(-1) * x2^(-1) * x3^(-1) * ... * xk^(-1)) * x(k+1)^(-1)
= x1^(-1) * x2^(-1) * x3^(-1) * ... * xk^(-1) * x(k+1)^(-1).
Dengan demikian, persamaan (x1 * x2 * x3 * ... * xn)^(-1) = x1^(-1) * x2^(-1) * x3^(-1) * ... * xn^(-1) benar untuk setiap n ∈ N.
d) Buktikan untuk n = 1:
Diberikan log(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = log(x1) + log(x2) + log(x
3) + ... + log(xn), yang benar.
Misalkan persamaan tersebut benar untuk suatu nilai n = k, yaitu log(x1 * x2 * x3 * ... * xk) = log(x1) + log(x2) + log(x3) + ... + log(xk)
Buktikan untuk n = k + 1:
log(x1 * x2 * x3 * ... * x(k+1)) = log(x1 * x2 * x3 * ... * xk * x(k+1))
= log(x1 * x2 * x3 * ... * xk) + log(x(k+1)) (dari asumsi induksi)
= log(x1) + log(x2) + log(x3) + ... + log(xk) + log(x(k+1)).
Dengan demikian, persamaan log(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = log(x1) + log(x2) + log(x3) + ... + log(xn) benar untuk setiap n ∈ N.
e) Buktikan untuk n = 1:
Diberikan x(y1 + y2 + y3 + ... + yn) = xy1 + xy2 + xy3 + ... + xyn, yang benar.
Misalkan persamaan tersebut benar untuk suatu nilai n = k, yaitu x(y1 + y2 + y3 + ... + yk) = xy1 + xy2 + xy3 + ... + xyk.
Buktikan untuk n = k + 1:
x(y1 + y2 + y3 + ... + y(k+1)) = x(y1 + y2 + y3 + ... + yk + y(k+1))
= xy1 + xy2 + xy3 + ... + xyk + xy(k+1).
Dengan demikian, persamaan x(y1 + y2 + y3 + ... + yn) = xy1 + xy2 + xy3 + ... + xyn benar untuk setiap n ∈ N.
Baca Juga mapel kelas 11 : ✅Matematika kelas ✅Bahasa Inggris ✅Bahasa Indonesia✅ Fisika ✅Kimia ✅Biologi ✅Sejarah ✅Geografi ✅Ekonomi ✅Sosiologi ✅ Pendidikan Agama ✅Seni Budaya ✅Penjas
Jawaban Nomor 6
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2
Bagian kiri ditulis :
n+ (n+1)
k(k+1) + (k+1)(k+2)
Subtitusi k(k+1)
k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)
( (k2+k)(k+2) + 3(k2+3k+2) )/3
(k3 + 3k2 + 2k + 3k2 + 9k +6 )/3
(k3 + 6k2 + 11k +6)/3
Bagian Kanan
misalkan n = k+1
n(n+1)(n+2)/3
(k+1)(k+2)(k43)/3
(k2 + 3k + 2)(k+3)/3
(k3 + 3k2 + 3k2 + 9k + 2k +6)/3
(k3 + 6k2 + 11k +6 )/3
Sehingga untuk bisa disimpukan
(k3 + 6k2 + 11k + 6 )/3 = (k3 + 6K2 + 11k +6 )/3
Hasilnya sama, maka P(n) Terbukti Benar
7. x^n– 1 habis dibagi oleh x – 1, x ≠ 1, n bilangan asli.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2
Pembuktian untuk (n + 1)
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n+1) - (n+1)
=n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n +1 -n-1
= n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 9n
= (N^5 -n) + (5n^4 + 10^3 + 10n^2 + 10n)
= (n^5 -n) + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n)
Jika n^5 - n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bukat positif.
Karena persen(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1)^5 - (n+1) habis dibagi 5.
8. Salah satu faktor dari n^3+ 3n^2 + 2n adalah 3, n bilangan asli.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2
Untuk n = 1 maka bentuk menjadi
1^3+3.1^2+2.1 = 1 + 3 +2 = 6
Sehingga benar bahwa 3 adalah satu faktor dari bentuk tersebut.
Maka menjadi (k+1)63 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 3K^2 + 6k + 3 + 2k + 2
= (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)
= (K^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k^2 + 3k + 2)
Karena 3 adalah faktor k^2+3k^2+2k dan 3(k^2+3k+2) maka 3 adalah faktor dari (k+1)^2 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
Jadi dengan menggunakan induksi matematika disimpulkan bahwa 3 adalah salah satu faktor dari (n+1)*2 + 3(n+1)42 + 2(n+1) untuk semua bilangan bulat positif n.
9. Salah satu faktor dari 2^2n – 1 + 3^2n – 1 adalah 5, n bilangan asli.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2
Jika n = 1 maka
2^2n-1 + 3^2-1 =5
2^2(1)-1 + 3^2(1) - 1 = 5
2+3 = 5
Sehingga, benar bahwa 5 merupakan salah satu faktor dari 2^n-1 + 3^2n-1.
Langkah 2: Anggap bahwa n = k benar, gunakan untuk membuktikan bahwa n = k + 1
benar (langkah induksi)
Untuk n = k bentuk di atas menjadi
2^2k-1 + 3^2K-1 = 2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1)
Untuk n = k + 1 bentuk di atas menjadi
2^2-1 + 3^2-1 = 2^2(k+1)-1 + 3^2(k+1)-1 = 2^(2k+1) + 3^(2k+1)
2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1) = 2^(2k+1) + 3^(2k^1)
Maka2^(2k+1) + 3^(2k+1) = 2^(2(k+1)-1) + 3^(2(k+1)-1) jadi terbukti.
10. 41^n– 14^n adalah kelipatan 27.
Dengan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa 41n - 14n adalah kelipatan 27
Untuk n = 1
411 - 141 = 41 - 14 = 27 adalah kelipatan 27 (BENAR)
Misal untuk n = x benar
41x - 14x adalah kelipatan 27
Akan dibuktikan untuk n = (x + 1) juga benar
41x - 14x+1
= 41x . 411 - 14x .141
= 41x . (27 +14)- 14x.14
= 27. 41x + 14 . 41x - 14 . 14x
= 27. 41x +14 (41x-14x)
27 . 41x adalah kelipatan 27 (sudah jelas)
14 (41x - 14x) adalah kelipatan 27 (berdasarkan n = x)
Jadi 27. 41x = + 14 (41x - 14)x adalah kelipatan 27 juga, maka terbukti.
11. 4007^n – 1 habis dibagi 2003, n bilangan asli.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2Menurut ekspansi binomial
Jika dan , maka:
Perhatikan bahwa merupakan kelipatan dari sehingga:
dengan bilangan bulat non-negatif.
Untuk kasus pada soal:
Jika habis dibagi , maka dengan bilangan bulat.
Misalkan:
Karena bilangan bulat non-negatif, maka juga bilangan bulat non-negatif sehingga habis dibagi untuk asli.
12. 2002^n+2 + 2003^2n + 1 habis dibagi 4005.
✅Kunci jawaban matematika halaman 24 uji kompetensi 1.2:
Definisi:
a habis dibagi b jika ada m sedemikian sehingga a=mb. notasi a habis dibagi oleh b adalah b|a
untuk
karena ada, maka
benar
asumsikan untuk suatu bilangan bulatbenar, maka
akan dibuktikanjuga benar
perhatikan bahwa, tetapi 89 tidak habis membagi
, jadi 4005 tidak habis membagi p(k+1)
berdasarkan prinsip induksi matematika, maka p(n) tidak habis dibagi oleh 4005
13. Diberikan a > 1, buktikan an > 1, n bilangan asli
KUNCI JAWABAN Matematika Kelas 11 Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2 BAB 1
NILAI 100 ✔️ Kunci Jawaban Matematika (MTK) Kelas 11 Halaman 24 25 26 ✔️ Uji Kompetensi 1.2 ✔️ Buku Siswa jawaban mtk Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2 BA